Гиперболические функции

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Гиперболический тангенс»)

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Определение

[math]\displaystyle{ \operatorname{sh}x }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ch}x }[/math]

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

  • гиперболический синус:
[math]\displaystyle{ \operatorname{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2} }[/math]

(в англоязычной литературе обозначается [math]\displaystyle{ \sinh x }[/math])

  • гиперболический косинус:
[math]\displaystyle{ \operatorname{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2} }[/math]

(в англоязычной литературе обозначается [math]\displaystyle{ \cosh x }[/math])

  • гиперболический тангенс:
[math]\displaystyle{ \operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} }[/math]

(в англоязычной литературе обозначается [math]\displaystyle{ \tanh x }[/math])

  • гиперболический котангенс:
[math]\displaystyle{ \operatorname{cth}x=\frac{1}{\operatorname{th}x} = \frac{\operatorname{ch} x}{\operatorname{sh} x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} }[/math]

(в англоязычной литературе обозначается [math]\displaystyle{ \coth x }[/math])

  • гиперболический секанс:
[math]\displaystyle{ \operatorname{sch}x=\frac{1}{\operatorname{ch}x} = \frac{2}{e^x + e^{-x}} }[/math]

Гиперболический секанс иногда также обозначается как [math]\displaystyle{ \operatorname{sech}x }[/math].

  • гиперболический косеканс:
[math]\displaystyle{ \operatorname{csch}x=\frac{1}{\operatorname{sh}x} = \frac{2}{e^x - e^{-x}} }[/math]

Геометрическое определение

Определение гиперболических функций через гиперболу
Параметризация гиперболического синуса (анимация).

Ввиду соотношения [math]\displaystyle{ \operatorname{ch}^2t-\operatorname{sh}^2t=1 }[/math] гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы [math]\displaystyle{ x^2-y^2=1 }[/math] ([math]\displaystyle{ x=\operatorname{ch}t }[/math], [math]\displaystyle{ y=\operatorname{sh}t }[/math]). При этом аргумент [math]\displaystyle{ t=2S }[/math], где [math]\displaystyle{ S }[/math] — площадь криволинейного треугольника [math]\displaystyle{ OQR }[/math], взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси [math]\displaystyle{ OX }[/math], и «−» в противоположном случае. Очевидно, что и гиперболические функции определяются через этот параметр, например, уравнения гиперболического синуса в параметрической форме: [math]\displaystyle{ x=t, y=f(t) }[/math], где [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] — ордината точки гиперболы, соответствующей площади [math]\displaystyle{ t=2S }[/math]. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Свойства

Связь с тригонометрическими функциями

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

[math]\displaystyle{ \operatorname{sh}x=-i\sin(ix),\quad \operatorname{ch}x=\cos(ix),\quad \operatorname{th}x=-i\operatorname{tg}(ix) }[/math].

[math]\displaystyle{ \operatorname{sh}(ix) = i\sin x,\quad \operatorname{ch}(ix) = \cos x,\quad \operatorname{th}(ix)= i\operatorname{tg}x }[/math].

Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.

Важные соотношения

  1. [math]\displaystyle{ \operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x = 1. }[/math]
Доказательство

[math]\displaystyle{ \operatorname{ch}^2 x - \operatorname{sh}^2 x = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)^2 - \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)^2 = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{4} = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x} - e^{2x} + 2 - e^{-2x}}{4} = \frac{2 + 2}{4} = 1 }[/math]

  1. Чётность/нечётность:
    1. [math]\displaystyle{ \operatorname{sh}(-x)=-\operatorname{sh}x. }[/math]
    2. [math]\displaystyle{ \operatorname{ch}(-x)=\operatorname{ch}x. }[/math]
    3. [math]\displaystyle{ \operatorname{th}(-x)=-\operatorname{th}x. }[/math]
    4. [math]\displaystyle{ \operatorname{cth}(-x)=-\operatorname{cth}x. }[/math]
    5. [math]\displaystyle{ \operatorname{sch}(-x) = \operatorname{sch}x. }[/math]
    6. [math]\displaystyle{ \operatorname{csch}(-x) = -\operatorname{csch}x. }[/math]
  2. Формулы сложения:
    1. [math]\displaystyle{ \operatorname{sh}(x \pm y)=\operatorname{sh}x\,\operatorname{ch}y \pm \operatorname{sh}y\,\operatorname{ch}x. }[/math]
    2. [math]\displaystyle{ \operatorname{ch}(x \pm y)=\operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}y \pm \operatorname{sh}y\,\operatorname{sh}x. }[/math]
    3. [math]\displaystyle{ \operatorname{th}(x \pm y)=\frac{\operatorname{th}x \pm \operatorname{th}y}{1 \pm \operatorname{th}x\,\operatorname{th}y}. }[/math]
    4. [math]\displaystyle{ \operatorname{cth}(x \pm y)=\frac{ 1 \pm \operatorname{cth}x\,\operatorname{cth}y}{\operatorname{cth}x \pm \operatorname{cth}y}. }[/math]
  3. Формулы двойного угла:
    1. [math]\displaystyle{ \operatorname{sh}2x=2\operatorname{ch}x\,\operatorname{sh}x=\frac{2\,\operatorname{th}x}{1-\operatorname{th}^2x}. }[/math]
    2. [math]\displaystyle{ \operatorname{ch}2x=\operatorname{ch}^2x+\operatorname{sh}^2x=2\operatorname{ch}^2x-1=1+2\operatorname{sh}^2x=\frac{1+\operatorname{th}^2x}{1-\operatorname{th}^2x}. }[/math]
    3. [math]\displaystyle{ \operatorname{th}2x=\frac{2\operatorname{th}x}{1+\operatorname{th}^2x}. }[/math]
    4. [math]\displaystyle{ \operatorname{cth}2x=\frac{1}{2} (\operatorname{th}x+\operatorname{cth}x). }[/math]
    5. [math]\displaystyle{ \operatorname{th}x=\frac{\operatorname{ch}2x-1}{\operatorname{sh}2x}=\frac{\operatorname{sh}2x}{1+\operatorname{ch}2x}. }[/math]
    6. [math]\displaystyle{ \operatorname{ch}2x \pm \operatorname{sh}2x=(\operatorname{sh}x\pm\operatorname{ch}x)^2. }[/math]
  4. Формулы кратных углов:
    1. [math]\displaystyle{ \operatorname{sh}3x=4\operatorname{sh}^3x+3\operatorname{sh}x . }[/math]
    2. [math]\displaystyle{ \operatorname{ch}3x=4\operatorname{ch}^3x-3\operatorname{ch}x . }[/math]
    3. [math]\displaystyle{ \operatorname{th}3x=\operatorname{th}x\frac{3+\operatorname{th}^2x}{1+3\operatorname{th}^2x}. }[/math]
    4. [math]\displaystyle{ \operatorname{sh}5x=16\operatorname{sh}^5x+20\operatorname{sh}^3x+5\operatorname{sh}x . }[/math]
    5. [math]\displaystyle{ \operatorname{ch}5x=16\operatorname{ch}^5x-20\operatorname{ch}^3x+5\operatorname{ch}x . }[/math]
    6. [math]\displaystyle{ \operatorname{th}5x=\operatorname{th}x\frac{\operatorname{th}^4x+10\operatorname{th}^2x+5}{5\operatorname{th}^4x+10\operatorname{th}^2x+1}. }[/math]
  5. Произведения:
    1. [math]\displaystyle{ \operatorname{sh}x\,\operatorname{sh}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)-\operatorname{ch}(x-y)}{2}. }[/math]
    2. [math]\displaystyle{ \operatorname{sh}x\,\operatorname{ch}y=\frac{\operatorname{sh}(x+y)+\operatorname{sh}(x-y)}{2}. }[/math]
    3. [math]\displaystyle{ \operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)+\operatorname{ch}(x-y)}{2}. }[/math]
    4. [math]\displaystyle{ \operatorname{th}x\,\operatorname{th}y=\frac{\operatorname{ch}(x+y)-\operatorname{ch}(x-y)}{\operatorname{ch}(x+y)+\operatorname{ch}(x-y)}. }[/math]
  6. Суммы:
    1. [math]\displaystyle{ \operatorname{sh}x \pm \operatorname{sh}y=2\operatorname{sh}\frac{x \pm y}{2}\operatorname{ch}\frac{x \mp y}{2}. }[/math]
    2. [math]\displaystyle{ \operatorname{ch}x + \operatorname{ch}y=2\operatorname{ch}\frac{x+y}{2}\operatorname{ch}\frac{x -y}{2}. }[/math]
    3. [math]\displaystyle{ \operatorname{ch}x - \operatorname{ch}y=2\operatorname{sh}\frac{x+y}{2}\operatorname{sh}\frac{x -y}{2}. }[/math]
    4. [math]\displaystyle{ \operatorname{th}x \pm \operatorname{th}y=\frac{\operatorname{sh}(x \pm y)}{\operatorname{ch}x\,\operatorname{ch}y}. }[/math]
  7. Формулы понижения степени:
    1. [math]\displaystyle{ \operatorname{ch}^2\frac{x}{2} = \frac{\operatorname{ch} x + 1}{2}. }[/math]
    2. [math]\displaystyle{ \operatorname{sh}^2\frac{x}{2} = \frac{\operatorname{ch} x - 1}{2}. }[/math]
  8. Производные:
Функция [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] Производная [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] Примечание
[math]\displaystyle{ \mathrm{sh}\ x }[/math] [math]\displaystyle{ \mathrm{ch}\ x }[/math]
Доказательство

[math]\displaystyle{ (sh (x))' = \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right)' = \frac{1}{2} \cdot (e^x - e^{-x})' = \frac{1}{2} \cdot (e^x - e^{-x} \cdot (-1)) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = ch (x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{ch}\ x }[/math] [math]\displaystyle{ \mathrm{sh}\ x }[/math]
Доказательство

[math]\displaystyle{ (ch (x))' = \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right)' = \frac{1}{2} \cdot (e^x + e^{-x})' = \frac{1}{2} \cdot (e^x + e^{-x} \cdot (-1)) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = sh (x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{th}\ x }[/math] [math]\displaystyle{ \frac{1}{\mathrm{ch}^2\ x} }[/math]
Доказательство

[math]\displaystyle{ (th (x))' = \left(\frac{sh (x)}{ch (x)}\right)' = \frac{(sh (x))' \cdot ch (x) - sh (x) \cdot (ch (x))'}{ch^2(x)} = \frac{ch(x) \cdot ch (x) - sh(x) \cdot sh (x)}{ch^2(x)} = \frac{ch^2(x) - sh^2(x)}{ch^2(x)} = \frac{1}{ch^2(x)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{cth}\ x }[/math] [math]\displaystyle{ -\frac{1}{\mathrm{sh}^2\ x} }[/math]
Доказательство

[math]\displaystyle{ (cth x)' = \left(\frac{ch (x)}{sh (x)}\right)' = \frac{(ch (x))' \cdot sh (x) - ch (x) \cdot (sh (x))'}{sh^2(x)} = \frac{sh(x) \cdot sh (x) - ch(x) \cdot ch (x)}{sh^2(x)} = \frac{sh^2(x) - ch^2(x)}{sh^2(x)} = -\frac{1}{sh^2(x)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{sch}\ x }[/math] [math]\displaystyle{ -\frac{sh(x)}{ch^2(x)} }[/math]
Доказательство

[math]\displaystyle{ (sch(x))' = \left(\frac{1}{ch(x)}\right)' = \frac{(1)' \cdot ch(x) - 1 \cdot (ch(x))'}{ch^2(x)} = -\frac{sh(x)}{ch^2(x)} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{csch}\ x }[/math] [math]\displaystyle{ -\frac{ch(x)}{sh^2(x)} }[/math]
Доказательство

[math]\displaystyle{ (csch(x))' = \left(\frac{1}{sh(x)}\right)' = \frac{(1)' \cdot sh(x) - 1 \cdot (sh(x))'}{sh^2(x)} = -\frac{ch(x)}{sh^2(x)} }[/math]

  1. Интегралы:
    См. также: Список интегралов от гиперболических функций, Список интегралов от обратных гиперболических функций
    1. [math]\displaystyle{ \int\operatorname{sh}x\,dx=\operatorname{ch}x+C. }[/math]
    2. [math]\displaystyle{ \int\operatorname{ch}x\,dx=\operatorname{sh}x+C. }[/math]
    3. [math]\displaystyle{ \int\operatorname{th}x\,dx=\ln\operatorname{ch}x+C. }[/math]
    4. [math]\displaystyle{ \int\frac{1}{\operatorname{ch}^2x}\,dx=\operatorname{th}x+C. }[/math]
    5. [math]\displaystyle{ \int\frac{1}{\operatorname{sh}^2x}\,dx=-\operatorname{cth}x+C. }[/math]
    6. [math]\displaystyle{ \operatorname{sh}x=\int\limits^x_0\operatorname{ch}tdt. }[/math]
    7. [math]\displaystyle{ \operatorname{ch}x=1+\int\limits^x_0\operatorname{sh}tdt. }[/math]
    8. [math]\displaystyle{ \operatorname{th}x=\int\limits^x_0\frac{dt}{\operatorname{ch}^2t}. }[/math]
  2. Представление через гиперболический тангенс половинного угла:
    1. [math]\displaystyle{ \operatorname{sh}x=\frac{2\operatorname{th}\frac{x}{2}}{1-\operatorname{th}^2\frac{x}{2}} }[/math]
    2. [math]\displaystyle{ \operatorname{ch}x=\frac{1+\operatorname{th}^2\frac{x}{2}}{1-\operatorname{th}^2\frac{x}{2}} }[/math]
    3. [math]\displaystyle{ \operatorname{th}x=\frac{2\operatorname{th}\frac{x}{2}}{1+\operatorname{th}^2\frac{x}{2}} }[/math]
    4. [math]\displaystyle{ \operatorname{cth}x=\frac{1+\operatorname{th}^2\frac{x}{2}}{2\operatorname{th}\frac{x}{2}} }[/math]
    5. [math]\displaystyle{ \operatorname{sch}x=\frac{1-\operatorname{th}^2\frac{x}{2}}{1+\operatorname{th}^2\frac{x}{2}} }[/math]
    6. [math]\displaystyle{ \operatorname{csch}x=\frac{1-\operatorname{th}^2\frac{x}{2}}{2\operatorname{th}\frac{x}{2}} }[/math]

Неравенства

Для всех [math]\displaystyle{ x\in\R }[/math] выполняется:

  1. [math]\displaystyle{ 0 \le \operatorname{ch}x-1 \le |\operatorname{sh} x| \lt \operatorname{ch}x }[/math]
  2. [math]\displaystyle{ | \operatorname{th}x | \lt 1 }[/math]

Разложение в степенные ряды

[math]\displaystyle{ \operatorname{sh}\,x=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{ch}\,x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{(2n)!} }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{th}\,x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\ldots=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!},\quad|x|\lt \frac{\pi}{2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{cth}\,x=\frac{1}{x}+\frac{x}{3}-\frac{x^3}{45}+\frac{2x^5}{945}+\ldots=\frac{1}{x}+\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!},\quad0\lt |x|\lt \pi }[/math] (Ряд Лорана)
[math]\displaystyle{ \operatorname{sch}\,x=\frac 1{\operatorname{ch}\,x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n}\,x^{2n}}{(2n)!} }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ B_{2n} }[/math] — числа Бернулли, [math]\displaystyle{ E_{2n} }[/math] — числа Эйлера.

Графики

sh(x), ch(x), th(x), cth(x)
sh, ch и th
csch, sech и cth

Аналитические свойства

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках [math]\displaystyle{ z=i\pi(n+1/2) }[/math], где [math]\displaystyle{ n }[/math] — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек [math]\displaystyle{ z=i\pi n }[/math], вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Обратные гиперболические функции

Основная статья: Обратные гиперболические функции

Иначе называются ареа-функциями: к названиям соответствующих гиперболических функций добавляется префикс «ареа-» — от лат. «area» — «площадь». Главные значения ареа-функций определяются следующими выражениями.

  • [math]\displaystyle{ \operatorname{arsh}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}) }[/math] — обратный гиперболический синус, ареа-синус.
  • [math]\displaystyle{ \operatorname{arch}x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right); x\ge 1 }[/math] — обратный гиперболический косинус, ареа-косинус.
  • [math]\displaystyle{ \operatorname{arth}x=\ln\frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x}=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}; |x|\lt 1 }[/math] — обратный гиперболический тангенс, ареа-тангенс.
  • [math]\displaystyle{ \operatorname{arcth}x=\ln\frac{\sqrt{x^2-1}}{x-1}=\frac{1}{2}\ln\frac{x+1}{x-1}; |x|\gt 1 }[/math] — обратный гиперболический котангенс, ареа-котангенс.
  • [math]\displaystyle{ \operatorname{arsch}x=\ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}; 0\lt x\le 1 }[/math] — обратный гиперболический секанс, ареа-секанс. Заметим, что решение [math]\displaystyle{ y=-\ln\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x} }[/math] также удовлетворяет уравнению [math]\displaystyle{ \operatorname{sch} y=x }[/math], однако главные значения ареа-функций являются однозначными функциями.
  • [math]\displaystyle{ \operatorname{arcsch}x=\ln\frac{1+\sgn x\sqrt{1+x^2}}{x}=\left\{\begin{array}{l}\ln\frac{1-\sqrt{1+x^2}}{x},\quad x\lt 0 \\ \ln\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x},\quad x\gt 0\end{array}\right. }[/math] — обратный гиперболический косеканс, ареа-косеканс.

Графики

arsh(x), arch(x), arth(x), arcth(x)

Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:

[math]\displaystyle{ \operatorname{Arsh}x=-i\operatorname{Arcsin}(-ix), }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{Arsh}(ix)=i\operatorname{Arcsin} x, }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{Arcsin} x=-i\operatorname{Arsh}(ix), }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{Arcsin} (ix)=-i\operatorname{Arsh}(-x), }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{Arccos}\ x=-i\ \operatorname{Arch}\ x, }[/math]

где i — мнимая единица.

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

[math]\displaystyle{ \operatorname{arsh}x=x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad \left\vert x \right\vert\lt 1; }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{arch}x=\ln(2x)-\left(\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^{-2}}{2}+\left(\frac{1\cdot3}{2\cdot4}\right)\frac{x^{-4}}{4}+\left(\frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\right)\frac{x^{-6}}{6}+\ldots\right)=\ln(2x)-\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{(-1)^n(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\right)\frac{x^{-2n}}{2n},\quad x\gt 1; }[/math]
[math]\displaystyle{ \operatorname{arth}x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{7}+\ldots=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x|\lt 1. }[/math]

В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают посредством знака минус первой степени: например, [math]\displaystyle{ \operatorname{Arth}\,x }[/math] пишут как [math]\displaystyle{ \operatorname{tanh}^{-1}x }[/math] (причём [math]\displaystyle{ (\operatorname{tanh}\,x)^{-1} }[/math] обозначает другую функцию — [math]\displaystyle{ \operatorname{cth}\,x }[/math]), и т. д.

История

Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил Винченцо Риккати в 1757 году («Opusculorum», том I), он же предложил их обозначения: [math]\displaystyle{ \operatorname{sh} }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{ch} }[/math]. Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы (см. рисунок в разделе #Определение).

Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н. И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой круговая тригонометрия заменяется на гиперболическую.

В обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения [math]\displaystyle{ \operatorname{sinhyp} }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{coshyp} }[/math], в русскоязычной литературе закрепились обозначения [math]\displaystyle{ \operatorname{sh}, \operatorname{ch} }[/math], в англоязычной закрепились [math]\displaystyle{ \sinh, \cosh }[/math].

Применение

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто вычисляются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Аналогично тому, как матрицы вида [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}\cos x & \sin x\\ -\sin x & \cos x\end{pmatrix} }[/math] описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix}\mathop{\mathrm{ch}}\,x & \mathop{\mathrm{sh}}\,x\\ \mathop{\mathrm{sh}}\,x & \mathop{\mathrm{ch}}\,x\end{pmatrix} }[/math] описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции [math]\displaystyle{ y=a\,\mathop{\mathrm{ch}}\,\frac{x}{a} }[/math] (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее эффективно распределяет нагрузку.

Литература

  • Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — Москва: Наука, 1985. — С. 464.
  • Шерватов В. Г. Гиперболические функции.. — Гостехиздат, 1954. — 58 с. — (Популярные лекции по математике). — 25 000 экз.
  • А. Р. Янпольский. Гиперболические функции. — Москва, 1960. — 195 с.

Ссылки

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Гиперболические_функции&oldid=13285655